15 Unterscheidung von Dreiecken nach Winkeln: spitzwinklig (alle Innenwinkel 90°) rechtwinklig (ein Innenwinkel 90°) stumpfwinklig (ein Innenwinkel 90°) Am besten bearbeitest du die Aufgabe mit einem dynamischen Geometrieprogramm. C B A a c b B C A a c b B C A a b cMu Mu Mu a) b) c) d) e) a = 5 cm a = 8 cm a = 7,1 cm b = 4,4 cm r = 3 cm r = 3 cm c = 8 cm r = 4 cm r = 3 cm a = r β = 57° r = 5 cm γ = 90° γ = 61° c = 2r 1 Konstruiere den Umkreis zu den folgenden Dreiecken. a) EIS: E (–1 | –1); I (4 | 0); S (2 | 4,5) b) TOR: T (1 | 0); O (7 | –2); R (7 | 4,5) c) KUH: K (1 | 2); U (4 | 2); H (4 | 6) d) BAD: B (–1 | 1); A (2 | 2); D (6 | 6) e) MAX: M (–1 | 1); A (5 | 3); X (1 | 5) f) UTA: U (–4 | –2); T (8 | 2); A (–2 | 6) 2 Nimm ein rundes Glas (oder eine Tasse). Stelle es mit der Öffnung nach unten auf ein Blatt und zeichne den Kreis. Bestimme den Mittelpunkt des Kreises. 3 1 2 3 Die Grafi ken zeigen die Lage von Mu für verschiedene Dreiecksarten. a) Welchen Zusammenhang vermutest du? b) Kontrolliere deine Vermutung, indem du je ein spitzwinkliges, ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck mit seinem Umkreis zeichnest. 4 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit A (1 | 1), B (5 | 1) und C (5 | 6). a) Zeichne das Dreieck. Konstruiere die Mittelsenkrechten und den Umkreismittelpunkt P, für die gilt: ___ PA = ___ PB = ___ PC. b) Bestimme den Radius des Umkreises durch Messung. Was fällt auf? Gib eine mögliche Erklärung für diese Besonderheit. 5 Von einem Dreieck ABC ist Folgendes bekannt: A (1 | –1), B (8 | 0) und Mu (4 | 3). Zudem weiß man, dass C auf einer Geraden durch P (–1 | 6) und Q (9 | 6) liegt. a) Trage die Punkte, den Umkreis und g = PQ in ein Koordinatensystem ein. b) Ermittle die Koordinaten des Eckpunktes C. Wie viele Lösungen fi ndest du? 6 Begründe die Aussage. a) Jedes Rechteck hat einen Umkreis. b) Beim rechtwinkligen Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten stets auf einer Seite. c) Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt stets außerhalb des Dreiecks. 7 Von einem Dreieck ABC sind jeweils die Radiuslänge r seines Umkreises und die Größen von zwei weiteren Bestimmungsstücken gegeben. Zeichne jeweils zunächst eine Planfi gur, trage die Bestimmungsstücke farbig ein, formuliere die Planung deines Vorgehens und führe die Konstruktion durch. Nu r z ur P rü fzw ec ke n Ei g nt um d e C .C . B uc hn er V rla gs