21 Der Satz von Thales einmal umgekehrt Für das folgende Experiment benötigst du zwei Stecknadeln und ein Geodreieck. Stecke zwei Stecknadeln im Abstand von 10 cm fest in dein Heft. Nenne die Punkte A und B. Schiebe dein Geodreieck mit dem rechten Winkel voraus so zwischen die beiden Nadeln, dass die beiden kurzen Dreiecksseiten die Nadeln berühren. Markiere die Stelle, an der die Spitze zum Liegen kommt (Bild 1). Drehe nun das Geodreieck und markiere erneut die Stelle an der Spitze. Achte darauf, dass die beiden Kanten immer die Nadeln berühren (Bild 2). Wiederhole den letzten Schritt so oft, bis du mindestens sechs solcher Punkte eingezeichnet hast. Bild 1: Bild 2: • Führe das Experiment durch. Welche Vermutung hast du? • Zeichne nun einen Thaleskreis über der Strecke ___ AB. Wenn du sorgfältig gezeichnet hast, liegen alle markierten Punkte auf der Kreislinie. Daraus folgern wir die Umkehrung des Satzes von Thales. Umkehrung des Satzes von Thales: Wenn das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat, dann liegt C auf dem Thaleskreis über der Seite ___ AB. A B C A B A B 7 6 5 43 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 A B C α β βα T Begründung: Ist der Winkel ACB im Dreieck ein rechter Winkel, so muss α + β = 90° sein (Innenwinkelsatz). Demnach lässt sich auch der rechte Winkel in die beiden Winkel α und β zerlegen. Zeichnet man den gemeinsamen Schenkel der Winkel an C, erhält man die Dreiecke ATC und CTB. Diese sind gleichschenklig, weil sie je zwei gleich große Innenwinkel besitzen. Da ___ TA = ___ TC und ___ TC = ___ TB ist, muss ___ TA = ___ TB, also der Punkt T der Mittelpunkt der Seite ___ AB sein. Die Punkte A, B und C liegen somit auf dem Kreis mit der Strecke ___ AB als Durchmesser, also auf dem Thaleskreis über ___ AB. • Gib die Begründung zur Umkehrung des Satzes von Thales mit eigenen Worten wieder. Nu r z ur P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d s C .C . B uc hn er V er la gs