51 13 Zeige, dass sich der Flächeninhalt A der Figuren durch den angegebenen Term darstellen lässt. a) b) c) A = 3x2 + 16x + 22 A = (5x – 5) · (5x + 5) A = 8 · (x2 + 4x + 2) 14 Beim Faktorisieren einer Summe kann man zunächst einen gemeinsamen Faktor aller Summanden ausklammern und anschließend die binomischen Formeln anwenden. Beispiele: 3x2 + 24x + 48 = 3 · (x2 + 8x + 16) = 3 · (x + 4)2 ax2 – 4ay2 = a · (x2 – 4y2) = a (x + 2y) · (x – 2y) Faktorisiere wie in den Beispielen. a) 4x2 + 48x + 144 b) 3y2 – 30y + 75 c) 2,5x2 – 20x + 40 d) 10x2 + 30x + 22,5 e) 250x2 – 100xy + 10y2 f) 7 __ 4 x 2 – 14 ___ 10 xy + 7 ___ 25 y 2 15 a) Betrachte die Quadratzahlen nebenan. 1 Setze die Reihe um mindestens drei Schritte fort. Welche Gesetzmäßigkeiten erkennst du? 2 Wie lautet allgemein ein Term (10 + n)2, wenn man für n natürliche Zahlen einsetzt? Wie sieht es bei (10 – n)2 aus? b) Beschreibe, wie man Quadratzahlen der Form (20 + n)2 und (30 + n)2 berechnen kann. Überprüfe zunächst an Beispielen. c) Wie kann man allgemein für einen Term (a + n)2 berechnen? Beschreibe in Worten. Erkläre den Zusammenhang mit einer Verknüpfungstabelle. d) Binomische Formeln für schnelle Rechner: Berechne ohne Taschenrechner, indem du die bisherigen Zusammenhänge nutzt. 182 242 262 352 412 442 572 612 732 x + 3 x + 3 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 3x – 4 3x + 4 4x – 3 4x + 3 2x + 4 2x + 4 2x + 4 2x + 4 4 4 Faktorisieren bedeutet, dass eine Summe in ein Produkt umgeformt wird. 112 = (10 + 1)2 = 100 + 20 + 1 122 = (10 + 2)2 = 100 + 40 + 4 132 = (10 + 3)2 = 100 + 60 + 9 142 = … Faktorisieren nach Vieta Bestimmte Summen kann man in ein Produkt umformen (faktorisieren), obwohl ihre Summanden keinen gemeinsamen Faktor enthalten und ihre Struktur auch keiner binomischen Formel entspricht. Franciscus Vieta hat dafür ein Verfahren mittels einer Verknüpfungstabelle angegeben: Beispiel: x2 – 2x – 15 • Faktorisiere ebenso. a) x2 – 2x – 8 b) x2 + 7x + 6 c) x2 + 3x – 18 d) x2 + 3x – 40 e) x2 – 5x + 6 f) x2 + 5x – 36 g) 4x2 + 2x – 12 h) 1 __ 4 x 2 – x – 24 Die Terme x2 und –15 kann man sofort in die weißen Felder der Verknüfungstabelle eintragen. In die beiden gelb unterlegten Felder müssen Faktoren der Zahl –15 so eingetragen werden, dass deren Summe die Zahl –2 ergibt. Unter mehreren Möglichkeiten fi ndet man die Lösungen 3 und –5 durch Probieren. Also gilt: x2 – 2x – 15 = (x + 3) · (x – 5) · x –5 x x2 –5x 3 3x –15 Franciscus Vieta (1540 – 1603) Französischer Mathematiker Nu r z ur P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs