Entdecken Gleichungen einmal anders: In jedem Becher der beiden Beispiele sind jeweils gleich viele Würfel. Ebenso ist die Gesamtanzahl der Würfel auf jeder Seite gleich. Wie viele Würfel sind in einem Becher? ▪▪ Bestimme die Anzahl der Würfel, indem du anschaulich beschreibst, wie du durch Wegneh­ men, Hinzufügen und Teilen schrittweise die Anzahl der Würfel in einem Becher bestimmen kannst. Skizziere deine Denkschritte in deinem Heft. ▪▪ Stelle jeweils eine Gleichung auf, mit deren Hilfe man die Anzahl der Würfel in einem Becher bestimmen kann. ▪▪ Forme die Gleichungen mithilfe deiner Denkschritte zuvor um. Beschreibe dein Vorgehen. Achte darauf, dass die Gleichheit auf beiden Seiten stets erhalten bleibt. Beispiel Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen. a) 4x + 7 = 31 b) 1 __ 4 y – 6 = 2 c) 5x + 10 = 2x – 2 Lösung: a) 4x + 7 = 31 b) 1 __ 4 y – 6 = 2 c) 5x + 10 = 2x – 2 4x = 24 1 __ 4 y = 8 5x = 2x – 12 x = 6 y = 32 3x = –12 = {6} = {32} x = –4 = {–4} Probe: 4 ∙ 6 + 7 = 31 Probe: 1 __ 4 ∙ 32 – 6 = 2 Probe: 5 ∙ (–4) + 10 = –10 Führe jede Umformung immer auf beiden Seiten durch. – 7 – 7 + 6 + 6 – 10 – 10 : 4 : 4 · 4 · 4 – 2x – 2x : 3 : 3 Führe eine Probe zur Kontrolle durch. 1 2 Verstehen Bei der Umformung einer Gleichung darf sich die Lösungsmenge nicht ändern. Die einzel­ nen Schritte, die man dabei durchführt, nennt man Äquivalenz umformungen. Bei jedem Schritt sind die entstandenen Gleichungen gleichwertig zueinander. Die Lösungsmenge ändert sich bei den folgenden Umformungen nicht. Äquivalenzumformung Beispiel 1 Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Term. x – 4 = 1 x = 5 = {5} = {5} + 4 + 4 2 Man subtrahiert auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Term. x + 6 = 2 x = –4 = {–4} = {–4} – 6 – 6 3 Man multipliziert auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl (die nicht null sein darf ). 1 __ 5 x = 2 x = 10 = {10} = {10} · 5 · 5 4 Man dividiert auf beiden Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl (die nicht null sein darf ). 4x = 22 x = 5,5 = {5,5} = {5,5} : 4 : 4 Wenn die Variable auf einer Seite der Gleichung alleine steht, dann kann man die Lösung direkt ablesen. Oft ist es möglich, eine Gleichung schrittweise so zu vereinfachen, dass die Variable auf einer Seite der Gleichung alleine steht. 3.6 Gleichungen umformen 110 3