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Formuliere die Gleichung in Worten. Bestimme die Lösungsmenge im Bereich der ganzen Zahlen. a) t – 7 = 128 b) 5x + 8 = 13 c) 210 – y = 158 d) –a + 3 = 7 e) 4b + 5 = 5 f) 12 – z : 2 = 3 Welche Äquivalenzumformungen wurden gemacht? Übertrage in dein Heft und ergänze die Umformungsschritte. a) 8 + 3x 3x 2x x = x + 7 = x – 1 = –1 = – 1 __ 2 b) 2 __ 3 a + 2 = 4 c) 2,6s – 9,2 2,6s 2,2s s = 0,4s + 18,3 = 0,4s + 27,5 = 27,5 = 12,5 2 __ 3 a = 2 a = 3 Cedric möchte sich ein Modellflugzeug kaufen. Seine Wahl fällt auf ein Modell für 34 €. Er hat bereits 10 € gespart. Wie lange muss er sparen, wenn er für seinen Wunsch jede Woche weitere 3 € zurücklegt? Stelle eine Gleichung auf und löse sie. Löse die Aufgaben, indem du jeweils eine Gleichung aufstellst. a) Betül ist jetzt dreimal so alt wie ihr Bruder Tarik in zwei Jahren sein wird. Tarik ist jetzt drei Jahre alt. Bestimme das Alter von Betül. b) In drei Jahren ist Martin doppelt so alt wie seine Schwester. Sie sind dann zusammen 24 Jahre alt. Bestimme Martins Alter und das seiner Schwester. c) Opa Hermann hatte vor zwei Jahren seinen 85. Geburtstag. Heute ist er dreimal so alt wie sein jüngster Neffe. Wie alt ist der Neffe? Löse wie im Kasten im Bereich der ganzen Zahlen ℤ. a) 2 ∙ (a + 1) = a + 3 ∙ (a – 5) b) 2 ∙ (b – 3) – (b + 1) = 8 c) c = 8 + (3 – c) d) (3d – 6) : 3 = 13 – (d + 1) e) 1 __ 2 ∙ (6e – 7) = 12 f) –0,2 · (8f + 7) = 8 – (0,6f – 0,6) g) 3g – 7 = g – 1 + 2 ∙ (g + 4) h) –8,5 + 3h + 2,4 = 3 ∙ (2 + h) – 5 5 6 7 8Beachte den Zahlen bereich, aus dem du einsetzen kannst. Weiterdenken Beim Umformen von Gleichungen lassen sich die bisherigen Schritte in einen übersichtlichen Ablauf bringen. Günstige Schrittfolge: 1 Terme auf jeder Seite verein fachen. 2 Durch Addition und Subtraktion alle Variablen auf eine Seite der Gleichung bringen, alle Zahlen ohne Variable auf die andere. Dabei die Terme auf jeder Seite jeweils vereinfachen. 3 Durch Multiplikation und Divi sion den Faktor vor der Variablen zur 1 machen. 4 Lösungsmenge bestimmen. 5 Zur Probe die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen. 1 2 2 3 4 5 Löse im Bereich der ganzen Zahlen ℤ. 8x + 2 · (3 – x) = 7 – 3x – 19 8x + 6 – 2x = –3x – 12 6x + 6 = –3x – 12 6x = –3x – 18 9x = –18 x = –2 –2 ist eine ganze Zahl = {–2} Probe: 8 · (–2) + 2 · [3 – (–2)] = 7 – 3 · (–2) – 19 –16 + 2 · 5 = 7 + 6 – 19 –6 = –6 – 6 + 3x : 9 – 6 + 3x : 9 9Ist die Lösung keine ganze Zahl, dann ist die Lösungsmenge leer. 3.6 Gleichungen umformen 112 3

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Formuliere die Gleichung in Worten. Bestimme die Lösungsmenge im Bereich der ganzen Zahlen. a) t – 7 = 128 b) 5x + 8 = 13 c) 210 – y = 158 d) –a + 3 = 7 e) 4b + 5 = 5 f) 12 – z : 2 = 3 Welche Äquivalenzumformungen wurden gemacht? Übertrage in dein Heft und ergänze die Umformungsschritte. a) 8 + 3x 3x 2x x = x + 7 = x – 1 = –1 = – 1 __ 2 b) 2 __ 3 a + 2 = 4 c) 2,6s – 9,2 2,6s 2,2s s = 0,4s + 18,3 = 0,4s + 27,5 = 27,5 = 12,5 2 __ 3 a = 2 a = 3 Cedric möchte sich ein Modellflugzeug kaufen. Seine Wahl fällt auf ein Modell für 34 €. Er hat bereits 10 € gespart. Wie lange muss er sparen, wenn er für seinen Wunsch jede Woche weitere 3 € zurücklegt? Stelle eine Gleichung auf und löse sie. Löse die Aufgaben, indem du jeweils eine Gleichung aufstellst. a) Betül ist jetzt dreimal so alt wie ihr Bruder Tarik in zwei Jahren sein wird. Tarik ist jetzt drei Jahre alt. Bestimme das Alter von Betül. b) In drei Jahren ist Martin doppelt so alt wie seine Schwester. Sie sind dann zusammen 24 Jahre alt. Bestimme Martins Alter und das seiner Schwester. c) Opa Hermann hatte vor zwei Jahren seinen 85. Geburtstag. Heute ist er dreimal so alt wie sein jüngster Neffe. Wie alt ist der Neffe? Löse wie im Kasten im Bereich der ganzen Zahlen ℤ. a) 2 ∙ (a + 1) = a + 3 ∙ (a – 5) b) 2 ∙ (b – 3) – (b + 1) = 8 c) c = 8 + (3 – c) d) (3d – 6) : 3 = 13 – (d + 1) e) 1 __ 2 ∙ (6e – 7) = 12 f) –0,2 · (8f + 7) = 8 – (0,6f – 0,6) g) 3g – 7 = g – 1 + 2 ∙ (g + 4) h) –8,5 + 3h + 2,4 = 3 ∙ (2 + h) – 5 5 6 7 8Beachte den Zahlen bereich, aus dem du einsetzen kannst. Weiterdenken Beim Umformen von Gleichungen lassen sich die bisherigen Schritte in einen übersichtlichen Ablauf bringen. Günstige Schrittfolge: 1 Terme auf jeder Seite verein fachen. 2 Durch Addition und Subtraktion alle Variablen auf eine Seite der Gleichung bringen, alle Zahlen ohne Variable auf die andere. Dabei die Terme auf jeder Seite jeweils vereinfachen. 3 Durch Multiplikation und Divi sion den Faktor vor der Variablen zur 1 machen. 4 Lösungsmenge bestimmen. 5 Zur Probe die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen. 1 2 2 3 4 5 Löse im Bereich der ganzen Zahlen ℤ. 8x + 2 · (3 – x) = 7 – 3x – 19 8x + 6 – 2x = –3x – 12 6x + 6 = –3x – 12 6x = –3x – 18 9x = –18 x = –2 –2 ist eine ganze Zahl = {–2} Probe: 8 · (–2) + 2 · [3 – (–2)] = 7 – 3 · (–2) – 19 –16 + 2 · 5 = 7 + 6 – 19 –6 = –6 – 6 + 3x : 9 – 6 + 3x : 9 9Ist die Lösung keine ganze Zahl, dann ist die Lösungsmenge leer. 3.6 Gleichungen umformen 112 3
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