a) Welche rationalen Zahlen dürfen eingesetzt werden? Bestimme . 1 2x – 6 _____ x = 22 2 x + 3 _____x – 1 – 3 = 1 __ 2 x 3 3 – 5x _____12 = 2 __ 3 4 3x2 – 4x _______4 – x = 3x ___ 4 5 x + 5 _____x – 3 = 4 __ x 6 3 __ x + 17 ___ 6x = 0 7 6 ______ 6 + 3x + 4 __ x = 1 8 21 _______ 2x (x – 2) = 3 9 1,5x _____ (x – 3) = 6 ______ 5x + 25 10 2x ____ x – 1 = 5 _____ x2 – 4 11 1 ______ (x – 3)2 = 5x _____ x + 9 12 2 _______ 3x (x – 5) = 1 __ 4 b) Erkläre, wie man eine Verhältnisgleichung der Form T1 __ T2 = T3 auch „über Kreuz“ ausmultiplizieren kann. c) Bestimme die Definitionsmenge in ℚ . Löse die Gleichungen wie im Kasten. 1 4 _____ x + 6 = 8 ___ 22 2 36 _____ x + 4 = 2 __ 3 3 6 _____ x + 3 = 0 4 6 __ x = 9 __ x 5 6x ____ x – 4 = 3x ___ 0,5 6 2 ____ x – 4 = 3 _____ x + 5 7 0,8 ______ x – 0,5 = 4 _____ x + 3 8 4 ____ x – 3 = 8 ____ x – 7 9 17 + x _____11 – x = 3 10 x – 6 _____x + 4 = 6 11 6x + 3 ______2x – 8 = 0 12 2,5 – x _______ –x + 3,5 = 5 __ 3 13 8 _____ x + 2 = 12 _____ x + 1 14 3 ____ x – 5 = 5 __ 6 15 10x + 0,5 ________80x + 4 = 3 __ 8 16 5x – 3 ______3,7 – x = 2,25 d) Überprüfe, ob du in den Term jede rationale Zahl einsetzen darfst. e) Finde selbst Terme mit Variablen im Nenner, für die du jede rationale Zahl  einsetzen  darfst. Worauf achtest du? Beschreibe. 16 2 1 __ x2 1 1 _____ x2 + 4 3 3x ______ (x + 2)2 4 5x ______ (x – 2)2 5 7 ______ 2x2 + 3 Gleichungen, die aus zwei Brüchen bestehen, die im selben Verhältnis zueinander stehen, kennst du als Verhältnisgleichungen. Bei der Definitionsmenge der Gleichung zählt man alle Zahlen auf, die man in die Gleichung einsetzen darf. Dabei muss man darauf achten, dass keine Zahlen in den Term eingesetzt werden dürfen, bei denen der Nenner null ist. Verhältnis gleichungen der Form T1 __ T2 = T3 __ T4 mit T2, T4 ≠ 0 kann man auflösen, indem man die Nenner „über Kreuz“  multipliziert. Beispiel: Löse die Gleichung 3 ____ x – 2 = 2 _____ x + 4 . Bestimme die Definitionsmenge in ℚ. Lösung: Definitionsmenge bestimmen 3 ____ x – 2 = 2 _____ x + 4 = ℚ \ {–4; 2} über Kreuz multiplizieren 3 ____ x – 2 = 2 _____ x + 4 | · (x – 2) · (x + 4) Gleichung lösen 3 · (x + 4) = 2 · (x – 2) ⇒ x = –16 Lösungsmenge bestimmen –16 ∈ ; = {–16} Probe l. S.: 3 ______ –16 – 2 = – 1 __ 6 r. S.: 2 _______ –16 + 4 = – 1 __ 6 T1 T2 T3 T4 = T1 ∙ T4 = T3 ∙ T2 Weiterdenken ℚ \ {–4; 2} bedeutet, dass bis auf –4 und 2 alle Zahlen aus ℚ erlaubt sind. 3.6 Gleichungen umformen 114 3