π mit Reiskörnern bestimmen Lässt man Reiskörner zufällig auf das oben abge­ bildete Quadrat regnen, landen manche Körner im Kreis, manche außerhalb. Die Anzahl der Körner, die im Inneren liegen, verhält sich zu der Gesamtzahl der Körner wie das oben angegebene Verhältnis der Flächen von Kreis und Quadrat. Die relative Häufig­ keit der Körner im Inneren des Kreises ist also ein Schätzwert von π __ 4 . a) Bastle eine Schachtel mit quadratischer Grund­ fläche. Zeichne einen Kreis so ein, dass sein Rand die Quadratseiten berührt. Bestimme einen Näherungswert für π. Führe dazu das Experiment mit 100 Reiskörnern 20­mal durch und berechne den Mittelwert. Körner auf der Kreislinie gehören zum Kreis. b) Führe das Zufallsexperiment mit einem Vier­ telkreis durch und nimm statt Reiskörnern 100 Reiß nägel. Was ändert sich in der Berech­ nung für π? Gib die Abweichung deiner Näherungs lösung vom Taschenrechner-Wert  von π in Prozent an. π mit dem Telefonbuch bestimmen In einem Telefonbuch werden die letzten beiden Ziffern der Telefonnummern von x aufeinander folgenden Personen betrachtet: Person Endziffern der Telefonnummer Daraus resultierender Punkt P 1 …4384 P1 (0,84 | 0,78) 2 …2778 3 …9214 P2 (0,14 | 0,07) 4 …1807 … … … a) Ermittle von einer beliebigen Seite eines Telefon buchs aus 40 aufeinander folgenden Telefon num mern 20 Zufallspunkte. b) Bestimme mit diesen Punkten analog zum ers­ ten Experiment einen Näherungswert für π, indem du prüfst, ob die Punkte innerhalb des Viertelkreises liegen oder nicht. c)   Gib die Abweichung deiner Näherungslösung  vom Taschenrechnerwert von π an. 1 1 x y P₂ P₁ Monte­Carlo­Methode In Monte­Carlo, einer Stadt im Fürstentum Monaco, steht eines der berühmtes­ ten Spielcasinos der Welt. Spielcasinos sind Orte des Zufalls – und so verwundert es nicht, dass eine mathematische Simulation, bei der Zufallszahlen zum Einsatz kommen, nach dieser Stadt benannt ist. Mit der Monte­Carlo­Methode kannst du zum Beispiel einen Näherungswert für die Kreiszahl π bestimmen. Die Idee ist, den Flächeninhalt eines Kreises gegenüber dem des umschriebenen Quadrats mithilfe von Zufallssimulationen abzuschätzen. Es gilt für das Verhältnis der Flächen: AKreis = π · r2 ⇒ AKreis ______ AQuadrat = π · r 2 _____ 4 · r 2 = π __ 4AQuadrat = 4 · r2 r 162 4 Themenseite