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Entdecken Verstehen Hilf Sven, die Rechengesetze, die er kennt, bei den rationalen Zahlen zu über prüfen. ▪▪ Welche Rechengesetze kennst du? ▪▪ Überprüfe an Zahlenbeispielen, ob du bei den einzelnen Grundrechenarten die Reihenfolge beliebig vertauschen und Klammern beliebig setzen kannst. 1. Was in Klammern steht, wird immer zuerst ausgerechnet. Bei mehreren Klammern beginnt man mit der innersten. 2. Potenzen werden vor den vier Grundrechenarten berechnet. 3. Punktrechnung (Multiplikation, Division) geht vor Strichrechnung (Addition, Subtraktion). Ebenso können bei alleiniger Addition bzw. Multiplikation rationale Zahlen beliebig vertauscht oder durch Klammern zusammengefasst werden. Man bezeichnet das Vertauschungsgesetz auch als Kommutativgesetz (KG). 1 Addition: 4,2 + (–2,3) + 3,8 = 5,7 4,2 + 3,8 + (–2,3) = 5,7 2 Multiplikation: 2,5 ∙ (–1,8) ∙ (–6) = 27 2,5 ∙ (–6) ∙ (–1,8) = 27 Das Verbindungsgesetz zum Setzen von Klammern heißt Assoziativgesetz (AG). 1 Addition: (–0,8) + [2,8 + (–1,5)] = 0,5 [(–0,8) + 2,8] + (–1,5) = 0,5 2 Multiplikation: ( – 3 __ 4 ) · [ ( – 1 __ 2 ) · 5 __ 7 ] = 15 ___ 56 [ ( – 3 __ 4 ) · ( – 1 __ 2 ) ] · 5 __ 7 = 15 ___ 56 Beispiel Erkläre, warum die folgenden Aufgaben richtig umgestellt wurden. a) 6,2 – 5,6 + 2,8 = 6,2 + 2,8 – 5,6 b) 0,2 ∙ (–1,4) : (–5) = 0,2 : (–5) ∙ (–1,4) Lösung: a) Die Subtraktion kann auch als Addition geschrieben werden. Hier darf man die Summanden vertauschen. 6,2 – 5,6 + 2,8 = 6,2 + (–5,6) + 2,8 = 6,2 + 2,8 + (–5,6) = 6,2 + 2,8 – 5,6 b) Die Division kann man in eine Multiplikation umwandeln. 0,2 ∙ (–1,4) : (–5) = 0,2 ∙ (–1,4) ∙ ( – 1 __ 5 ) = 0,2 ∙ ( – 1 __ 5 ) ∙ (–1,4) = 0,2 : (–5) ∙ (–1,4) Beachte: Da wir eine Subtraktion auch als Addition der Gegenzahl und eine Division stets als Multiplikation mit ihrem Kehrwert verste hen können, lassen sich diese Grundrechenarten auch in den Rechen gesetzen wiederfinden. Für die Berechnung von Termen gelten auch bei rationalen Zahlen Rechengesetze. Klammer zuerst Potenz vor Punkt Punkt vor Strich Wie sieht es hier aus? Ist (–4,3) + (+2,5) + (–2,7) dasselbe wie (–4,3) + (–2,7) + (+2,5)? Oder (–4,5) · 3,96 · (–2) das gleiche wie (–4,5) · (–2) · 3,96? Wie sieht es bei den anderen Rechenarten aus? Muss ich bei 5,2 – 1,22 erst potenzieren oder subtrahieren? V ielleicht ist es auch egal? 1.8 Rechengesetze 36 1 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs

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Entdecken Verstehen Hilf Sven, die Rechengesetze, die er kennt, bei den rationalen Zahlen zu über prüfen. ▪▪ Welche Rechengesetze kennst du? ▪▪ Überprüfe an Zahlenbeispielen, ob du bei den einzelnen Grundrechenarten die Reihenfolge beliebig vertauschen und Klammern beliebig setzen kannst. 1. Was in Klammern steht, wird immer zuerst ausgerechnet. Bei mehreren Klammern beginnt man mit der innersten. 2. Potenzen werden vor den vier Grundrechenarten berechnet. 3. Punktrechnung (Multiplikation, Division) geht vor Strichrechnung (Addition, Subtraktion). Ebenso können bei alleiniger Addition bzw. Multiplikation rationale Zahlen beliebig vertauscht oder durch Klammern zusammengefasst werden. Man bezeichnet das Vertauschungsgesetz auch als Kommutativgesetz (KG). 1 Addition: 4,2 + (–2,3) + 3,8 = 5,7 4,2 + 3,8 + (–2,3) = 5,7 2 Multiplikation: 2,5 ∙ (–1,8) ∙ (–6) = 27 2,5 ∙ (–6) ∙ (–1,8) = 27 Das Verbindungsgesetz zum Setzen von Klammern heißt Assoziativgesetz (AG). 1 Addition: (–0,8) + [2,8 + (–1,5)] = 0,5 [(–0,8) + 2,8] + (–1,5) = 0,5 2 Multiplikation: ( – 3 __ 4 ) · [ ( – 1 __ 2 ) · 5 __ 7 ] = 15 ___ 56 [ ( – 3 __ 4 ) · ( – 1 __ 2 ) ] · 5 __ 7 = 15 ___ 56 Beispiel Erkläre, warum die folgenden Aufgaben richtig umgestellt wurden. a) 6,2 – 5,6 + 2,8 = 6,2 + 2,8 – 5,6 b) 0,2 ∙ (–1,4) : (–5) = 0,2 : (–5) ∙ (–1,4) Lösung: a) Die Subtraktion kann auch als Addition geschrieben werden. Hier darf man die Summanden vertauschen. 6,2 – 5,6 + 2,8 = 6,2 + (–5,6) + 2,8 = 6,2 + 2,8 + (–5,6) = 6,2 + 2,8 – 5,6 b) Die Division kann man in eine Multiplikation umwandeln. 0,2 ∙ (–1,4) : (–5) = 0,2 ∙ (–1,4) ∙ ( – 1 __ 5 ) = 0,2 ∙ ( – 1 __ 5 ) ∙ (–1,4) = 0,2 : (–5) ∙ (–1,4) Beachte: Da wir eine Subtraktion auch als Addition der Gegenzahl und eine Division stets als Multiplikation mit ihrem Kehrwert verste hen können, lassen sich diese Grundrechenarten auch in den Rechen gesetzen wiederfinden. Für die Berechnung von Termen gelten auch bei rationalen Zahlen Rechengesetze. Klammer zuerst Potenz vor Punkt Punkt vor Strich Wie sieht es hier aus? Ist (–4,3) + (+2,5) + (–2,7) dasselbe wie (–4,3) + (–2,7) + (+2,5)? Oder (–4,5) · 3,96 · (–2) das gleiche wie (–4,5) · (–2) · 3,96? Wie sieht es bei den anderen Rechenarten aus? Muss ich bei 5,2 – 1,22 erst potenzieren oder subtrahieren? V ielleicht ist es auch egal? 1.8 Rechengesetze 36 1 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs
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