Entdecken Verstehen Zeichne auf kariertes Papier möglichst viele unterschiedliche Rechtecke, die alle den Flächeninhalt von 36 Kästchen haben. ▪▪ Lege eine Tabelle an, in der du die Längen und die zugehörigen Breiten (in Kästchenlängen) notierst. Länge Rechteck 1 2 3 4 … 36 Breite Rechteck 36 18 … ▪▪ Wie ändert sich die Breite des Rechtecks, wenn sich die Länge verdoppelt (verdreifacht, versechsfacht, halbiert)? ▪▪ Übertrage die zusammengehörenden Werte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem. Beschreibe den Verlauf des Graphen, auf dem die Punkte liegen. Viele Zuordnungen, die nicht direkt proportional sind, lassen sich durch eine weitere spezielle Zuordnung beschreiben. Diese wird im Folgenden vorgestellt. Beispiel Überprüfe die Zuordnung auf indirekte Proportionalität. Welche Bedeutung hat das Produkt der Wertepaare? Lösung: Man erkennt, dass bei einer Verdopplung der Anzahl der Arbeiter die Bauzeit halbiert wird. Ebenso ist das Produkt aus Anzahl der Arbeiter und Arbeitszeit immer gleich, nämlich 60. Es gibt die Gesamtarbeitszeit in Tagen an, mit der die Firma rechnet. Eine Zuordnung nennt man indirekt proportional, wenn folgender Zusammenhang gilt: Zum Doppelten (zum Dreifachen, zum Vierfachen, …, zur Hälfte, zum Drittel, …) der Aus­ gangsgröße gehört die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel, …, das Doppelte, das Dreifache, …) der zugeordneten Größe. Dieser Zusammenhang lässt sich neben dieser Wortform folgendermaßen darstellen: Tabelle mit Dreisatz Graph Produktgleichheit Anzahl Pferde Hafervorrat in Tagen 2 20 1 40 5 8 2 · 20 = 4 · 10 = 5 · 8 = 40 Bedeutung: 40 Tagesportionen Pferdefutter Schrittweises Rechnen mit entgegengesetzter Ver änderung von der Ausgangsgröße zur gesuchten Größe. Die Punkte liegen auf einer Kurve, die Hyperbel heißt. Für große x­ bzw. y­Werte nähert sie sich den Koordinatenachsen an. Das Produkt aus zugeordneter Größe und Ausgangsgröße ist stets gleich. Den gleichbleiben­ den Produktwert nennt man auch Gesamtgröße. : 2 · 5 · 2 : 5 Hafervorrat in Tagen 5 Anzahl Pferde 1 2 4 5 6 10 15 20 0 0 3 Derselbe Zusammen­ hang kann auch nur für Zahlen gelten. Eine indirekt proportio­ nale Zuordnung liegt bereits vor, wenn eine dieser Eigenschaften zutrifft. Wir gehen davon aus, dass jeder Arbeiter gleich viel schaffen kann und sich die Arbeiter nicht gegenseitig im Weg stehen. Anzahl Arbeiter 2 4 6 Bauzeit in Tagen 30 15 10 2.3 Indirekt proportionale Zuordnungen 64 2 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc h er Ve rla gs