91 5 Beim mehrjährigen Sparen lässt man die Zinsen oft auf dem Konto liegen. Werden am Ende eines Jahres die Zinsen nicht abgehoben, so werden sie zum Guthaben hinzugerechnet und im nächsten Jahr ebenfalls mitverzinst. Man spricht vom Zinseszins. Das Guthaben zu Jahresende entspricht also einem vermehrten Grundwert. Mit dem vermehrten Prozentsatz lassen sich Zinsen über mehrere Jahre einfach bestimmen. a) Bestimme anhand des Beispiels das Kapital am Ende des 1. (2., 3.) Jahres, wenn zu Beginn K = 5000 f angelegt wurden. b) Begründe, warum man das Kapital nach n Jahren wie folgt bestimmen kann: K (n) = K · 1,03n. c) Wie lautet die „Zinseszinsformel“ aus b) für einen Zinssatz von 2 % (5 %, 8 %)? 6 a) Ein Kapital von 100 f wird 5 Jahre zu einem Zinssatz von 5 % angelegt. Übertrage die Tabelle in dein Heft und vervollständige sie. b) Stelle die Entwicklung des Kapitals mithilfe der Tabelle aus a) grafi sch dar. Beschreibe den Verlauf des Graphen. Ist die Zuordnung proportional? 7 Berechne das Kapital zum Ende der Laufzeit. Zinsen werden mitverzinst. 8 Sabrina legt 2000 f für 3 Jahre auf einem Bankkonto an. Der Zinssatz beträgt 4,5 %, die Zinsen werden jeweils mitverzinst. a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende der Laufzeit? b) Wie hoch sind die Zinsen insgesamt, die Sabrina in den 3 Jahren erhält? c) Vergleiche das Ergebnis aus b) mit den Zinsen, die Sabrina insgesamt bekommen hätte, wenn die Zinsen zu Jahresende jeweils ausbezahlt worden wären. 9 Bei manchen Festgeldkonten sind die Zinsen nicht in jedem Jahr gleich. a) Berechne für eine einmalige Einzahlung von 3500 f das Guthaben nach 3 Jahren, wenn die Zinsen am Ende des Jahres jeweils hinzugezählt und im nächsten Jahr mitverzinst werden. Ergänze die Tabelle. b) Wie viel Zinsen bekommt man bei dem Angebot insgesamt in 3 Jahren? Jahr 1 2 3 4 5 Kapital am Jahresende 105 f a) b) c) d) e) Anfangskapital 3000 f 7000 f 12 000 f 25 000 f 45 000 f Laufzeit 2 Jahre 3 Jahre 3 Jahre 2 Jahre 4 Jahre Zinssatz 4 % 6 % 3,5 % 2,5 % 3 % Das Beispiel aus Aufgabe 5 kann dir helfen. Man bezeichnet K (n) = K · 1,03n auch als Zinseszinsformel für ein Kapital nach n Jahren bei 3 % Verzinsung. Beispiel: Zinssatz 3 %; Kapital K • Kapital am Ende des 1. Jahres: K (1) = K · 1,03 bzw. K (1) = K · 1,031 • Kapital am Ende des 2. Jahres: K (2) = (K · 1,03) · 1,03 bzw. K (2) = K · 1,032 • Kapital am Ende des 3. Jahres: K (3) = (K · 1,03 · 1,03) · 1,03 bzw. K (3) = K · 1,033 K (1) K (2) 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr Guthaben zu Jahresbeginn Jahreszinsen Guthaben am Jahresende Das Guthaben am Jahresende ist das neue Guthaben des Folgejahres. Festgeldkonto: 3 Jahre fest 1. Jahr 1,5 % Zinsen 2. Jahr 2,5 % Zinsen 3. Jahr 4,0 % Zinsen SPARBANK Nu r z u Pr üf zw ec en Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs