Abimaps Bayern Abitur 2017 2 Eine Funktion f ist durch f (x) = 2 · e 12 x − 1 mit x ∈ R gegeben. a)2P Ermitteln Sie die Nullstelle NULLSTELLEN(REGELFALL): Abi001 der Funktion f . Nullstelle: f (x) = 0 Nullstellengleichung nach x auflösen: f (x) = 0⇐⇒ 2 · e 12 x − 1 = 0 ⇐⇒ 2e 12 x = 1 ⇐⇒ e 12 x = 1 2 ⇐⇒ ex = 1 4 ⇐⇒ x = ln ( 1 4 ) = − ln 4 Lösung: Nullstelle von f : x = − ln 4 b)3P Die Tangente TANGENTEN: Abi016 an den Graphen von f im Punkt S(0|1) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Tangentengleichung aufstellen: Ableitung mit der Kettenregel:[ f (g(x)) ]′ = f ′(g(x)) · g′(x) f ′(x) = 2 · e 12 x · 12 = e 1 2 x =⇒ f ′(0) = 1 KETTENREGEL: Abi151 =⇒ Tangentengleichung: y = x + t für ein t ∈ R S(0|1) liegt auf der Tangente =⇒ 1 = 0 + t =⇒ t = 1 =⇒ Tangentengleichung: y = x + 1 Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse: x + 1 = 0⇐⇒ x = −1 =⇒ Schnittpunkt T(−1|0) Lösung: S und T haben vom Ursprung O jeweils den Abstand 1 =⇒ SOT ist gleichschenklig. x y S(0|1) (?|0) VERANSCHAULICHUNG:GRAPH VON f MIT TANGENTE 3 Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt. a)2P Der Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y -Achse SYMMETRIE: Abi004 und die Gerade mit der Gleichung x = 2 ist eine senkrechte Asymptote. ASYMPTOTEN: Abi018 gerade Potenzen von x wählen Definitionslücke bei x = 2 Lösung: Nenner mit Nullstelle bei x = 2f (x) = 1 x2 − 4 11 Nu r z u P üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs