Abimaps Bayern Abitur 2017 Prüfungsteil B, Geometrie AUFGABENGRUPPE 1 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0|0|1), B(2|6|1), C (−4|8|5) und D(−6|2|5) gegeben. Sie liegen in einer Ebene E und bilden ein Viereck ABCD, dessen Diagonalen sich im Punkt M schneiden. a)1P Begründen Sie, dass die Gerade AB parallel zur x1x2-Ebene verläuft. d. h. horizontal, ohne Steigung in x3-Richtung ⇐⇒ x3-Komponente des Richtungsvektors = 0 Berechnung eines Richtungsvektors der Gerade: x1 x2 x3 A B C D M VERANSCHAULICHUNG DES VIERECKS ABCD VEKTORADDITION: Abi044 AB = OB − OA = ( 2 6 1 ) − ( 0 0 1 ) = ( 2 6 0 ) Untersuchung der Richtung von AB: AB = ( 2 6 0 ) hat die x3-Komponente 0, verläuft also parallel zur x1x3-Ebene. b)4P Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von M.( Teilergebnis: M(−2|4|3)) Es genügt zu zeigen, dass ABCD 3 rechte Winkel hat, da die Innenwinkelsumme eines Vierecks immer 360◦ beträgt. Seiten des Vierecks durch Vektoren darstellen: AB = ( 2 6 0 ) (s. o.), AD = OD − OA = (−6 2 5 ) − ( 0 0 1 ) = (−6 2 4 ) , CB = OB − OC = ( 2 6 1 ) − (−4 8 5 ) = ( 6 −2 −4 ) und CD = OD − OC = (−6 2 5 ) − (−4 8 5 ) = (−2 −6 0 ) 45 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er er la gs